Временными характеристиками цепи называются откликами на типовые составляющие исходного сигнала.
Переходная характеристика цепи - это отклик цепи с нулевыми начальными условиями на воздействие единичной функции (функции Хевисайда). Переходная характеристика определяется из операторной передаточной функции путем её деления на оператор , и нахождения оригинала от получившегося изображения с помощью обратного преобразования Лапласа через вычеты.
Импульсная характеристика цепи - это отклик цепи на воздействие дельта-функции . - бесконечно короткий по длительности и бесконечно большой по амплитуде импульс единичной площади. Импульсная характеристика определяется путем нахождения вычетов от передаточной функции цепи.
Временные характеристики цепи будем искать также операторным методом. Для этого нужно найти операторное изображение входного сигнала, умножить его на коэффициент передачи в операторной форме и от полученного выражения найти оригинал, т. е зная коэффициент передачи цепи, мы можем найти отклик на любое воздействие.
Нахождение импульсной характеристики сводится к нахождению реакции цепи на дельта-функцию. Известно, что для дельта-функции изображением является 1. Применяя обратное преобразование Лапласа, найдем импульсную характеристику.
.
Выделим целую часть для передаточной функции цепи, так как степени старших коэффициентов в числителе и в знаменателе равны:
Найдем особые точки передаточной функции, приравняв знаменатель к нулю.
Имеем всего одну особую точку, теперь берем вычет в этой особой точке.
Выражение для импульсной характеристики запишется следующим образом:
Аналогично найдем переходную характеристику цепи, зная, что для функции Хевисайда изображением является функция .
; , ;
Переходная и импульсная характеристики связаны между собой, так же как и входные воздействия :
Проверим выполнение предельных соотношений между частотными и временными характеристиками цепи, т.е. выполнение следующих условий:
Подставляем в систему конкретные выражения для характеристик цепей.
.
Как видим, условия выполняются, что говорит о правильности найденных формул.
Запишем конечные формулы для временных характеристик, учитывая нормировку
По вышеуказанным формулам построим графики этих функций.
фурье сигнал аналоговый линейный
Рисунок 2.5 - Импульсная характеристика аналогового фильтра-прототипа
Рисунок 2.6 - Переходная характеристика аналогового фильтра-прототипа
Временные характеристики существуют только при , так как отклики не могут опережать воздействия.
Наша цепь является дифференцирующей, поэтому переходная характеристика ведет себя так. Дифференцирующая цепь заостряет переходный процесс и пропускает передний фронт. За «бросок» отвечают прошедшие высокие частоты, а за завал - не прошедшие низкие частоты.
Статья в тему
Внедрение и использование GPS-трекеров в среде предприятия
Трекер - устройство приёма-передачи-записи данных для
спутникового мониторинга автомобилей, людей или других объектов, к которым оно
прикрепляется, использующее Global Positioning System для точного определения
местонахождения обьекта. Сферы применения GPS-мониторинга транспорта: скорая...
Импульсная
(весовая) характеристика или импульсная
функция
цепи
–
это ее обобщенная характеристика,
являющаяся временной функцией, численно
равная реакции цепи на единичное
импульсное воздействие на ее входе при
нулевых начальных условиях (рис. 13.14);
другими словами, это отклик цепи,
свободной от начального запаса энергии
на дельта-функцию Дирана 
на ее входе.
|
|
Функцию 
можно определить, рассчитав переходную
или передаточную 
функцию цепи.
Расчет функции 
с использованием переходной функции
цепи. Пусть при входном воздействии 
реакцией линейной электрической цепи
является 
.
Тогда в силу линейности цепи при входном
воздействии, равном производной 
,
реакция цепи будет равна производной
.
Как отмечалось,
при 
,
реакция цепи 
,
а если 
,
то реакция цепи будет 
,
т.е. импульсная функция
Согласно свойству
выборки 
произведение
.
Таким образом, импульсная функция цепи
.
(13.8)
Если 
,
то импульсная функция имеет вид
.
(13.9)
Следовательно, размерность импульсной характеристики равна размерности переходной характеристики, поделенной на время.
Расчет функции 
с использованием передаточной функции
цепи. Согласно выражению (13.6), при
воздействии на вход функции 
,
откликом функции будет переходная
функция 
вида:
.
С другой стороны,
известно, что изображение производной
функции по времени 
,
при 
,
равно произведению 
.
Откуда 
,
или 
,
(13.10)
т.е. импульсная
характеристика
цепи равна обратному преобразованию
Лапласа ее передаточной
функции.
Пример. Найдем импульсную функцию цепи, схемы замещения которой представлены на рис. 13.12, а ; 13.13.
Решение
Переходная и передаточная функции этой цепи били получены ранее:
Тогда, согласно выражению (13.8)
где 
.
|
|
График импульсной
характеристики 
цепи представлен на рис. 13.15.
Выводы
Импульсная
характеристика 
введена по тем же двум причинам, что и
переходная характеристика 
.
1. Единичное
импульсное воздействие 
– скачкообразное и потому довольно
тяжелое для любой системы или цепи
внешнее воздействие. Следовательно,
важно знать реакцию системы или цепи
именно при таком воздействии, т.е.
импульсную характеристику 
.
2. При помощи
некоторого видоизменения интеграла
Дюамеля можно, зная
вычислить реакцию системы или цепи на
любое внешнее возмущение (см. далее пп.
13.4, 13.5).
4. Интеграл наложения (дюамеля).
Пусть произвольный
пассивный двухполюсник (рис. 13.16, а
)
подключается к источнику непрерывно
изменяющегося с момента
напряжения
(рис. 13.16,б
).
|
|
Требуется найти
ток
(или напряжение) в любой ветви двухполюсника
после замыкания ключа.
Задачу решим в два
этапа. Сначала искомую величину найдем
при включении двухполюсника на единичный
скачок напряжения, который задается
единичной ступенчатой функцией
.
Известно, что
реакцией цепи на единичный скачок
является переходная
характеристика (функция)
.
Например, для
–
цепи переходная функция по току
(см. п.2.1), для
–
цепи переходная функция по напряжению
.
На втором этапе
непрерывно изменяющееся напряжение
заменим ступенчатой функцией с
элементарными прямоугольными скачками
(см. рис. 13.16б
).
Тогда процесс изменения напряжения
можно представить как включение при
постоянного напряжения
,
а затем как включение элементарных
постоянных напряжений
,
смещенных относительно друг друга на
интервалы времени
и имеющих знак плюс для возрастающей и
минус для падающей ветви заданной кривой
напряжения.
Составляющая
искомого тока в момент
от постоянного напряжения
равна:
.
Составляющая
искомого тока от элементарного скачка
напряжения
,
включаемого в момент времени
равна:
.
Здесь аргументом
переходной функции является время
,
поскольку элементарный скачок напряжения
начинает действовать на время
позднее замыкания ключа или, иначе
говоря, поскольку промежуток времени
между моментом
начала действия этого скачка и моментом
времени
равен
.
Элементарный скачок напряжения
,
где
– масштабный коэффициент.
Поэтому искомая составляющая тока
Элементарные
скачки напряжения включаются на интервале
времени от
до момента
,
для которого определяется искомый ток.
Поэтому, суммируя составляющие тока от
всех скачков, переходя к пределу при
,
и учитывая составляющую тока от начального
скачка напряжения
,
получаем:
Последняя формула для определения тока при непрерывном изменении приложенного напряжения
(13.11)
называется интегралом наложения (суперпозиции) или интегралом Дюамеля (первой формой записи этого интеграла).
Аналогично решается
задача при подключении цепи и источнику
тока. Согласно этому интегралу реакция
цепи, в общем виде,
в некоторый момент
после
начала воздействия
определяется всей той частью воздействия,
которая имела место до момента времени
.
Заменой переменных и интегрированием по частям можно получить другие формы записи интеграла Дюамеля, эквивалентные выражению (13.11):
Выбор формы записи
интеграла Дюамеля определяется удобством
расчета. Например, в случае, если
выражается экспоненциальной функцией,
удобной оказывается формула (13.13) или
(13.14), что обуславливается простотой
дифференцирования экспоненциальной
функции.
При
или
удобно применять форму записи, в которой
слагаемое перед интегралом обращается
в нуль.
Произвольное
воздействие
может быть представлено также в виде
суммы последовательно включаемых
импульсов, как это изображено на рис.
13.17.
|
|
При бесконечно
малой длительности импульсов
получим формулы интеграла Дюамеля,
аналогичные (13.13) и (13.14).
Эти же формулы
можно получить из соотношений (13.13) и
(13.14), заменив а них производную функцию
импульсной функцией
.
Вывод.
Таким образом, на
основе формул интеграла Дюамеля (13.11) –
(13.16) и временных характеристик цепи
и
могут быть определены временные функции
откликов цепи
на произвольные воздействия
.
Академия России
Кафедра Физики
Лекция
Переходные и импульсные характеристики электрических цепей
Орел 2009
Учебные и воспитательные цели:
Разъяснить слушателям сущность переходной и импульсной характеристик электрических цепей, показать связь между характеристиками, обратить внимание на применение рассматриваемых характеристик для анализа и синтеза ЭЦ, нацелить на качественную подготовку к практическому занятию.
Распределение времени лекции
Вступительная часть……………………………………………………5 мин.
Учебные вопросы:
1. Переходные характеристики электрических цепей………………15 мин.
2. Интегралы Дюамеля………………………………………………...25 мин.
3. Импульсные характеристики электрических цепей. Связь между характеристиками………………………………………….………...25 мин.
4. Интегралы свертки………………………………………………….15 мин.
Заключение……………………………………………………………5 мин.
1. Переходные характеристики электрических цепей
Переходная характеристика цепи (как и импульсная) относится к временным характеристикам цепи, т. е. выражает некоторый переходный процесс при заранее установленных воздействиях и начальных условиях.
Для сравнения электрических цепей по их реакции к этим воздействиям, необходимо цепи поставить в одинаковые условия. Наиболее простыми и удобными являются нулевые начальные условия.
Переходной характеристикой цепи называют отношение реакции цепи на ступенчатое воздействие к величине этого воздействия при нулевых начальных условиях.
По определению ,
где – реакция цепи на ступенчатое воздействие;
– величина ступенчатого воздействия [В] или [А].
Так как и делится на величину воздействия (это вещественное число), то фактически – реакция цепи на единичное ступенчатое воздействие.
Если переходная характеристика цепи известна (или может быть вычислена), то из формулы можно найти реакцию этой цепи на ступенчатое воздействие при нулевых НУ
.
Установим связь между операторной передаточной функцией цепи, которая часто известна (или может быть найдена), и переходной характеристикой этой цепи. Для этого используем введенное понятие операторной передаточной функции:
.
Отношение преобразованной по Лапласу реакции цепи к величине воздействия представляет собой операторную переходную характеристику цепи:
Следовательно .
Отсюда находится операторная переходная характеристика цепи по операторной передаточной функции.
Для определения переходной характеристики цепи необходимо применить обратное преобразование Лапласа:
воспользовавшись таблицей соответствий или (предварительно) теоремой разложения.
Пример: определить переходную характеристику для реакции напряжение на емкости в последовательной -цепи (рис. 1):
Здесь реакция на ступенчатое воздействие величиной :
,
откуда переходная характеристика:
.
Переходные характеристики наиболее часто встречающихся цепей найдены и даны в справочной литературе.
2. Интегралы Дюамеля
Переходную характеристику часто используют для нахождения реакции цепи на сложное воздействие. Установим эти соотношения.
Условимся, что воздействие является непрерывной функцией и подводится к цепи в момент времени , а начальные условия – нулевые.
Заданное воздействие можно представить как сумму ступенчатого воздействия приложенного к цепи в момент и бесконечно большого числа бесконечно малых ступенчатых воздействий, непрерывно следующих друг за другом. Одно из таких элементарных воздействий, соответствующих моменту приложения показано на рисунке 2.
Найдем значение реакции цепи в некоторый момент времени .
Ступенчатое воздействие с перепадом к моменту времени обуславливает реакцию, равную произведению перепада на значение переходной характеристики цепи при , т. е. равную:
Бесконечно малое же ступенчатое воздействие с перепадом , обуславливает бесконечно малую реакцию 
, где есть время, прошедшее от момента приложения воздействия до момента наблюдения. Так как по условию функция непрерывна, то:
В соответствии с принципом наложения реакции будет равна сумме реакций, обусловленных совокупностью воздействий, предшествующих моменту наблюдения , т. е.
.
Обычно в последней формуле заменяют просто на , поскольку найденная формула верна при любых значениях времени :
.
Или, после несложных преобразований:
.
Любое из этих соотношений и решает задачу вычисления реакции линейной электрической цепи на заданное непрерывное воздействие по известной переходной характеристики цепи . Эти соотношения называют интегралами Дюамеля.
3. Импульсные характеристики электрических цепей
Импульсной характеристикой цепи называют отношение реакции цепи на импульсное воздействие к площади этого воздействия при нулевых начальных условиях.
По определению ,
где – реакция цепи на импульсное воздействие;
– площадь импульса воздействия.
По известной импульсной характеристике цепи можно найти реакцию цепи на заданное воздействие: 
.
В качестве функции воздействия часто используется единичное импульсное воздействие называемое также дельта-функцией или функцией Дирака.
Дельта-функция – это функция всюду равная нулю, кроме , а площадь ее равна единице ():
.
К понятию дельта-функция можно прийти, рассматривая предел прямоугольного импульса высотой и длительностью , когда (рис. 3):
Установим связь между передаточной функцией цепи и ее импульсной характеристикой, для чего используем операторный метод.
По определению:
.
Если воздействие (оригинал) рассматривать для наиболее общего случая в виде произведения площади импульса на дельта-функцию, т. е. в виде , то изображение этого воздействия согласно таблицы соответствий имеет вид:
.
Тогда с другой стороны, отношение преобразованной по Лапласу реакции цепи к величине площади импульса воздействия, представляет собой операторную импульсную характеристику цепи:
.
Следовательно, .
Для нахождения импульсной характеристики цепи необходимо применить обратное преобразование Лапласа:
Т. е. фактически .
Обобщая формулы, получим связь между операторной передаточной функцией цепи и операторными переходной и импульсной характеристиками цепи:
Таким образом, зная одну из характеристик цепи, можно определить любые другие.
Произведем тождественное преобразование равенства, прибавив к средней части .
Тогда будем иметь .
Поскольку представляет собой изображение производной переходной характеристики, то исходное равенство можно переписать в виде:
Переходя в область оригиналов, получаем формулу, позволяющую определить импульсную характеристику цепи по известной ее переходной характеристике:
Если , то .
Обратное соотношение между указанными характеристиками имеет вид:
.
По передаточной функции легко установить наличие в составе функции слагаемого .
Если степени числителя и знаменателя одинаковы, то рассматриваемое слагаемое будет присутствовать. Если же функция является правильной дробью, то этого слагаемого не будет.
Пример: определить импульсные характеристики для напряжений и в последовательной -цепи, показанной на рисунке 4.
Определим :
По таблице соответствий перейдем к оригиналу:
.
График этой функции показан на рисунке 5.
Рис. 5
Передаточная функция :
Согласно таблице соответствий имеем:
.
График полученной функции показан на рисунке 6.
Укажем, что такие же выражения можно было получить с помощью соотношений, устанавливающих связь между и .
Импульсная характеристика по физическому смыслу отражает собой процесс свободных колебаний и по этой причине можно утверждать, что в реальных цепях всегда должно выполняться условие:
4. Интегралы свертки (наложения)
Рассмотрим порядок определения реакции линейной электрической цепи на сложное воздействие, если известна импульсная характеристика этой цепи . Будем считать, что воздействие представляет собой кусочно-непрерывную функцию , показанную на рисунке 7.
Пусть требуется найти значение реакции в некоторый момент времени . Решая эту задачу, представим воздействие в виде суммы прямоугольных импульсов бесконечно малой длительности, один из которых, соответствующий моменту времени , показан на рисунке 7. Этот импульс характеризуется длительностью и высотой .
Из ранее рассмотренного материала известно, что реакцию цепи на короткий импульс можно считать равной произведению импульсной характеристики цепи на площадь импульсного воздействия. Следовательно, бесконечно малая составляющая реакции, обусловленная этим импульсным воздействием, в момент времени будет равной:
поскольку площадь импульса равна , а от момента его приложения до момента наблюдения проходит время .
Используя принцип наложения, полную реакцию цепи можно определить как сумму бесконечно большого числа бесконечно малых составляющих , вызванных последовательностью бесконечно малых по площади импульсных воздействий, предшествующих моменту времени .
Таким образом:
.
Эта формула верна для любых значений , поэтому обычно переменную обозначают просто . Тогда:
.
Полученное соотношение называют интегралом свертки или интегралом наложения. Функцию , которая находится в результате вычисления интеграла свертки, называют сверткой и .
Можно найти другую форму интеграла свертки, если в полученном выражении для осуществить замену переменных:
.
Пример: найти напряжение на емкости последовательной -цепи (рис. 8), если на входе действует экспоненциальный импульс вида:
Воспользуемся интегралом свертки:
.
Выражение для 
было получено ранее.
Следовательно, 
, и 
.
Такой же результат можно получить, применив интеграл Дюамеля.
Литература:
Белецкий А. Ф. Теория линейных электрических цепей. – М.: Радио и связь, 1986. (Учебник)
Бакалов В. П. и др. Теория электрических цепей. – М.: Радио и связь, 1998. (Учебник);
Качанов Н. С. и др. Линейные радиотехнические устройства. М.: Воен. издат., 1974. (Учебник);
Попов В. П. Основы теории цепей – М.: Высшая школа, 2000.(Учебник)
Пусть произвольная импульсная система задана структурной схемой, представляющей собой совокупность стандартных соединений из простейших импульсных систем (соединений типа обратная связь, последовательных и параллельных). Тогда, чтобы получить передаточную функцию этой системы, достаточно уметь находить передаточную функцию стандартных соединений по передаточным функциям соединяемых импульсных систем, так как последние известны (либо точно, либо приближенно) (см. § 3.1).
Соединения чисто импульсных систем.
Формулы для вычисления -передаточных функций стандартных соединений чисто импульсных систем по z-передаточным функциям соединяемых чисто импульсных элементов совпадают с аналогичными формулами из теории непрерывных систем. Это совпадение происходит потому, что структура формулы (3.9) совпадает со структурой аналогичной формулы из теории непрерывных систем формула (3.9) описывает работу чисто импульсной системы точно.
Пример . Найти z-передаточную функцию чисто импульсной системы, заданной структурной схемой (рис. 3.2).
С учетом (3.9) из структурной схемы, изображенной на рис. 3.2, получаем:
Подставим последнее выражение в первое:
(сравнить с известной формулой из теории непрерывных систем ).
Соединения импульсных систем.
Пример 3.2. Пусть импульсная система представлена структурной схемой (см. рис. .3.3, без учета пунктира и штрихпунктира). Тогда
Если нужно определить дискретные значения выхода (см. фиктивный синхронный ключ на выходе - пунктир на рис. 3.3), то способом, аналогичным тому, который использовался при выводе (3.7), получим, связь:
Рассмотрим другую систему (рис. 3.4, без учета пунктира), которая отличается от предыдущей лишь местом расположения ключа. Для нее
При фиктивном ключе (см. пунктир на рис. 3.4)
Из полученных в этом примере соотношений можно сделать выводы.
Вывод 1. Вид аналитической связи входа как с непрерывными [см. (3.10), (3.12)], так и с дискретными [см. (3.11), (3.13)] значениями выхода произвольной импульсной системы существенно зависит от места расположения ключа.
Вывод 2. Для произвольной импульсной системы, как и для простейшей, которая описана в 3.1, не удается получить характеристику, аналогичную передаточной функции, которая связывает вход и выход во все моменты времени. Не удается получить подобной характеристики, которая связывает вход и выход и в дискретные моменты времени, кратные , что для простейшей импульсной системы сделать удалось (см. § 3.1). Это видно из соотношений соответственно (3.10), (3.12) и (3.11), (3.13).
Вывод 3. Для некоторых частных случаев соединений импульсных систем, например для импульсной системы, структурная схема которой представлена на рис. 3.5 (без пунктира), удается найти передаточную функцию, связывающую вход и выход в дискретные моменты времени, кратные . Действительно, из (3.10) при следует Но тогда [см. вывод формулы (3.7)]
Структура связи z-передаточной функции разомкнутой и замкнутой систем в данном случае такая же, как и в теории непрерывных систем.
Следует отметить, что это хотя и частный случай, но он имеет очень большое практическое значение, так как к нему приводятся многие системы из класса импульсных следящих систем.
Вывод 4. Для получения удобного выражения, аналогичного z-передаточной функции в случае произвольной импульсной системы (см., например, рис. 3.3), требуется вводить синхронные фиктивные ключи не только на выходе системы (см. пунктир на рис. 3.3), но и в других ее точках (см., например, штрихпунктирвый участок вместо сплошного на рис. 3.3). Тогда
и формулы (3.10), (3.11) примут соответственно такой вид:
и, следовательно,
Последствия от введения ключей, изображенных на рис. 3.3 штрихпунктиром и пунктиром, существенно различны, так как последний не меняет характера работы всей системы, он просто дает информацию о ней в дискретные моменты времени.
Первый же, преобразуя в импульсный тот непрерывный сигнал, который поступает на звено обратной связи, превращает исходную систему совсем в другую. Эта новая система достаточно хорошо сможет представлять работу исходной системы, если принять (см. § 5.4) и если
1) выполняются условия теоремы Котельникова (2.20);
2) полоса пропускания звена обратной связи меньше :
где - частота среза звена обратной связи;
3) амплитудная частотная характеристика (АЧХ) звена в районе частоты среза уменьшается достаточно круто (см. рис. 3.6).
Тогда через звено обратной связи проходит только та часть спектра импульсного сигнала , которая соответствует непрерывному сигналу .
Таким образом, формула (3.16) в общем случае только приближенно представляет работу исходной системы даже в дискретные моменты времени. Причем она делает это тем точнее, чем надежнее выполняются условия (2.20), (3.17) и условия крутого спада амплитудно-частотной характеристики для звена, нормальная работа которого нарушена фиктивным ключом.
Итак, с помощью z-преобразования можно точно исследовать работу чисто импульсной системы; с помощью преобразования Лапласа - точно исследовать работу непрерывной системы.
Импульсную систему с помощью одного (любого) из этих преобразований удается исследовать только приближенно, да и то при соблюдении некоторых условий. Причиной тому является наличие в импульсной системе как непрерывных, так и импульсных сигналов (поэтому такие импульсные системы являются непрерывноимпульсными и их иногда называют непрерывно-дискретными). В связи с этим преобразование Лапласа, удобное при оперировании с непрерывными сигналами, становится неудобным, когда дело доходит до дискретных сигналов. Удобное же для дискретных сигналов z-преобразование неудобно для непрерывных.
Так в данном случае проявляется отмеченный еще в апориях }